001 上一章注释[001]

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【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了，我调整一下，过会儿再看】</p>

硬核程度：☆☆☆☆☆</p>

涉及领域：计算理论</p>

大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？</p>

可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。</p>

以下开始：</p>

首先，什么是可计算？</p>

可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。</p>

为了方便描述，先行约定一下数学符号。</p>

假设我们有一个乘法器，叫做mult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。</p>

比如，输入(3，4)输出12</p>

输入(6，2)输出12</p>

输入(0，6)输出0</p>

这时，我们把这些输入数对叫做dmain，输出的一个数叫做cdmain。如果我们用Z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：</p>

mult:Z^2→Z</p>

中间的这个→表示这个mult是一个ttalfun，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个dmain里的输入，都能对应一个cdmain里的输出。</p>

与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它(6，0)时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：</p>

div:Z^2—Z</p>

这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）</p>

好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。</p>

后继函数：su→N，succ(x)=x+1，N代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+1.</p>

零函数：ze:Nn→N，ze()=0。不管给它什么，它都输出0.</p>

投影函数：pjn:Nn→N，pjin(x1，...，xn)=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，pj22(1，3)=3。</p>

好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。</p>

我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：</p>

f:Nn—N</p>